Un invito a guardare la geometria con occhi nuovi, ascoltando la musica delle proporzioni
È un invito alla misura che si fa canto, una geometria che respira: nel pentagono si concentra la promessa di un ordine visibile e di un segreto che lo trascende. Fin dal suo primo apparire nel pentagramma, la figura a cinque lati sembra dire il suo nome all’intelligenza e alla bellezza insieme: Pentagono: perfezione esclusiva, armonia migliore. Non è soltanto una forma: è un congedo dai casi, un richiamo a una proporzione capace di proiettare sul mondo un equilibrio che sa essere allo stesso tempo semplice e, se lo guardiamo con cura, inesausto.
Questa forma, regolare come un cristallo dell’intelletto e vibrante come una nota, attraversa la storia delle arti e delle scienze come una costellazione discreta. Il pentagono è un magnete che attrae la narrazione: il suo interno si fa teatro della diagonale che si incrocia e genera il pentagramma; il pentagramma, a sua volta, svela il numero d’oro, mostrando la musica delle proporzioni laddove gli occhi scorgono linee e angoli. La promessa che porta con sé è doppia: appartiene tanto alla misurazione rigorosa quanto alla poesia del vedere.
Ecco perché, in un tempo che tenta di confondere misura e calcolo, la figura a cinque lati invita a restituire al pensiero geometrico la sua voce più antica: non la mera enumerazione di grandezze, ma l’arte di comporre, di dare all’intuizione un volto. Per questa ragione, anche la nostra rivista accoglie il pentagono come un segno di passaggio: dalla scienza alla spiritualità, dalla forma all’idea.
– La grammatica del pentagono regolare
– Pentagono: tra numero e simbolo
– Naturale e artificiale: la simmetria a cinque nella vita e nelle opere
– Pacioli, Leonardo e la disciplina dell’armonia
– Geometrie contemporanee: tassellazioni, quasi-cristalli e inquietudine aurea
– Riflessione finale
La grammatica del pentagono regolare
Il pentagono regolare è una struttura che sembra nascere con una lingua propria. I suoi lati, posti in cerchio, chiamano diagonali che si intersecano formando una stella: il pentagramma. Questa stella non è decorazione, ma rivelazione: nelle proporzioni fra lato e diagonale si manifesta la relazione aurea, con cui la matematica e l’arte hanno imparato a nominare un equilibrio non arbitrario. La diagonale di un pentagono regolare è infatti più lunga del lato secondo un rapporto costante: il famoso φ (phi), circa 1,618. Questo rapporto, che si ritrova in costruzioni classiche, in dodecaedri, in architetture e in ritmi, proviene da un’equazione che il pentagramma iscrive nella figura, quasi come una firma segreta.
Secondo l’Università di St Andrews, che dedica un accurato dossier storico alla “proporzione aurea”, l’emergere di φ nel pentagono e nel pentagramma legittima la sua reputazione di misura privilegiata dell’armonia, offrendo una genealogia che dalla Grecia pitagorica attraversa Euclide e giunge alla modernità. In questa storia il pentagono è una porta di accesso: basta una perpendicolare tracciata con mano ferma per entrare in un dialogo millenario.
La logica che il pentagono propone si riconosce negli angoli: 108 gradi per ogni vertice, mentre il pentagramma interno disegna triangoli aurei con angoli di 36°-72°-72°. Ognuno di questi triangoli custodisce la relazione fra base e lato uguale al numero d’oro: una comoda biblioteca di proporzioni pronta all’uso per pittori, architetti, costruttori di strumenti. Il pentagono regolare diventa così, da figura astratta, un repertorio: non solo una forma, ma un vocabolario.
In questo vocabolario, ciò che parla è la simmetria: il pentagono possiede una simmetria di ordine cinque, rara, perfino impossibile nelle periodicità cristalline regolari, come la matematica ha dimostrato con il cosiddetto “teorema della restrizione cristallografica”. Tale impossibilità non impoverisce la figura: le dona un carattere quasi aristocratico, una distanza che la sottrae alla ripetizione banale. La perfezione esclusiva che spesso gli si attribuisce nasce anche da qui: dall’impossibilità di banalizzare la sua simmetria.
Pentagono: tra numero e simbolo
Nell’eco di questa formula c’è un patto fra matematica e simbolo. Per i pitagorici il pentagramma, generato dal pentagono, fu emblema di riconoscimento: una firma di società e di visione. La linea che traccia la stella non è un incrocio casuale: è l’indizio di una proporzione che ritorna sempre uguale a se stessa, che ti “stringe” in un rapimento di intelligenza.
Questa magnificenza non è priva di disciplina. La “migliore” armonia di cui si parla non allude a un’idea vaga di bellezza, ma alla precisione di un rapporto. L’esclusività del pentagono, in arte, non va intesa come privilegio: è una chiamata al rispetto della misura. In architettura, ad esempio, la presenza del pentagono e del pentagramma suggerisce la possibilità di costruire spazi in cui la serialità perde l’aggressività e si fa ritmo, come accade nei soffitti cassettonati, nelle rosette, nei pannelli policromatici in cui il cinque governa la ripartizione delle superfici.
Il simbolo della stella a cinque punte attraversa molte culture con risemantizzazioni diverse: dalla protezione alla virtù, dal segno militare al sigillo di integrità. Eppure il pentagono rimane, al centro di questo ventaglio, ciò che è: un equilibrio. Lo si riconosce nel modo in cui la diagonale “sorvola” il lato, lo si riconosce nel modo in cui il centro si fa crocevia. Non tanto un talismano, quanto un compasso mentale.
Come ci ricorda l’esperienza del disegno geometrico, tracciare un pentagono regolare a partire da cerchi e segmenti è già un atto poetico: si inseguono intersezioni, si cercano i punti giusti, si attende il momento in cui la figura “si chiude” e la stella appare. In quell’apparire, la mano e il pensiero collidono l’una con l’altro e si correggono. È una liturgia dell’armonia migliore, perché è un esercizio al contempo rigoroso ed espressivo.
Naturale e artificiale: la simmetria a cinque nella vita e nelle opere
La natura conosce la simmetria pentagonale come una sua lingua particolare. Le echinodermi — stelle marine, ricci, ofiure — la esibiscono con naturalezza: cinque “raggi” intorno a un centro, come se l’acqua avesse imparato a disegnare. I fiori, talvolta, si aprono in cinque petali, offrendo una geometria di dolcezza. Un semplice taglio trasversale in una mela rivela una stella a cinque punte: un pentagramma inatteso, il pentagono come gesto del frutto.
Se allarghiamo lo sguardo, però, la natura cristallina sembra evitare la periodicità pentagonale: i cristalli, per come si dispongono in reticoli ripetuti, non sopportano la simmetria d’ordine cinque. Questo paradosso ha alimentato la curiosità della scienza moderna: possiamo avere “ordine” senza periodicità, con cinque come cifra? La risposta è giunta nel XX secolo con la scoperta dei quasi-cristalli e con le tassellazioni aperiodiche di Penrose, dove la simmetria pentagonale si manifesta non come regola ripetitiva ma come armonia disseminata. È un rovesciamento: non più obbedienza al ritmo regolare, ma fedeltà a un ordine che si rinnova senza ripetersi. Per comprendere l’impatto di questa scoperta, basti ricordare il riconoscimento del Premio Nobel per la Chimica 2011 a Dan Shechtman per la scoperta dei quasi-cristalli: un nuovo modo di intendere l’ordine, in cui il cinque diventa cifra dell’inedito.
Nel mondo artificiale, l’architettura ha spesso convocato la stella a cinque punte e la figura pentagonale come strutture simboliche. Si pensi alla celebre sede del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti: il “Pentagon” non è un pentagono regolare, ma racconta la forza del numero, la sua centralità, la sua capacità di imporre una forma all’intenzione. In altri contesti, il pentagono appare nella liturgia delle decorazioni sacre e civili: rosette, intarsi, pattern che, pur non essendo perfettamente regolari, giocano con l’eco di quella simmetria che ha il potere di tenere insieme.
La manifattura di strumenti musicali, infine, conosce la dialettica fra proporzioni auree e resa acustica. Il pentagono non compare letteralmente nella maggior parte delle casse armoniche, ma il suo vocabolario di rapporti informa scelte di progettazione: spessori, lunghezze, posizioni relative, in un paesaggio proporzionale che convoca spesso φ come media di equilibrio fra volume e chiarezza, fra timbro e proiezione. In tal senso, la “migliore armonia” che il pentagono promette non è un dogma: è un’ipotesi di ascolto.
Pacioli, Leonardo e la disciplina dell’armonia
Se dovessimo cercare un momento in cui la proporzione aurea e la figura pentagonale si sono incontrate sotto lo sguardo consapevole dell’Occidente, dovremmo evocare la stagione in cui Luca Pacioli scrive il suo “De divina proportione” e Leonardo da Vinci lo illustra. È una congiunzione di intelligenze e di operatori della bellezza, avvenuta alla fine del Quattrocento, in cui la matematica si fa lingua condivisa fra teoria e bottega. Il pentagono e il dodecaedro — il solido platonico a dodici facce pentagonali — vi occupano un posto di riguardo, come depositari di un’armonia che non ha bisogno di giustificarsi oltre se stessa.
La comprensione storica di questo incontro è fondamentale: non si trattò di esoterismo, ma di scienza e arte in dialogo. Leonardo illuminò — letteralmente — i solidi di Pacioli, mostrando in trasparenza e in ombra la struttura di quelle geometrie; Pacioli rispose dando teoria e lessico. Questa complicità poetica e tecnica rivela che la proporzione aurea è faccenda insieme di pensiero e di immagine. Il pentagono e il pentagramma, insomma, diventano strumenti per rendere percepibile l’ordine.
Secondo il Museo Galileo di Firenze, che conserva e interpreta la stagione di scienza rinascimentale, la “divina proporzione” di Pacioli e la pratica di Leonardo hanno avuto un impatto di lunga durata nella didattica e nella cultura delle arti, codificando una tradizione che riconosce nell’armonia numerica una via al discernimento estetico. In questo quadro, il pentagono trova spazio non solo come figura ma come “parola”: un elemento di un discorso che chiede al vedere di diventare pensare.
La disciplina dell’armonia, in questo senso, è anche disciplina del limite. Il pentagono non “funziona” senza rigore: la sua perfezione dipende dalla precisione del tratto, dalla purezza degli angoli, dall’esattezza del rapporto. La mano che disegna deve misurare: un insegnamento che Pacioli e Leonardo avrebbero riconosciuto come proprio, e che ancora oggi ci educa a non confondere ciò che piace con ciò che è giusto. L’arte del pentagono è, prima di tutto, giustezza.
Focus / Box — 1509: De divina proportione
– Data: 1509, Venezia
– Opera: “De divina proportione” di Luca Pacioli, con illustrazioni di Leonardo da Vinci
– Nucleo: trattazione sistematica della proporzione aurea e dei solidi, fra cui il dodecaedro pentagonale
– Significato: incontro fra matematica e arte che consegna alla cultura occidentale una grammatica dell’armonia, in cui il pentagono diventa elemento linguistico di una bellezza misurata
Geometrie contemporanee: tassellazioni, quasi-cristalli e inquietudine aurea
La storia non finisce nel Rinascimento. Nel Novecento, la famiglia di tassellazioni di Penrose ci ha consegnato un modo di guardare al piano che rompe la familiarità delle periodicità semplici: due “rombi” con angoli legati alla geometria del pentagono tessono il pavimento senza ripetersi, eppure l’ordine è evidente. Non è un gioco: è una lezione. La simmetria di ordine cinque, impossibile nelle periodicità, diventa possibile in un alfabeto aperiodico, e compone una forma di armonia inquieta e accurata. Il pentagono riappare come una ombra strutturale: non c’è letteralmente, ma informa gli angoli, determina incastri, suggerisce e controlla.
Questa grammatica ha riverberi nella scienza dei materiali: i quasi-cristalli scoperti da Shechtman mostrano una disposizione a lunga distanza ordinata, priva di periodicità classica, in cui la simmetria a cinque può manifestarsi. La “perfezione esclusiva” torna allora come definizione di una coerenza non banale: ordine senza ripetizione, rigore senza monotonia, armonia senza cliché. Il pentagono, qui, si fa operatore e non sola figura.
Nel design e nell’architettura contemporanea, si sperimenta spesso con pattern che evocano la famiglia pentagonale, cercando in φ rapporti fra altezza e larghezza, fra spessore e distanza, fra modulo e campo. Il risultato non è sempre dichiarato: come avviene con ogni linguaggio maturo, lo si riconosce più per sintassi che per citazione. Dunque, l’uso del pentagono oggi invita alla discrezione: a non ostentare ma a comporre.
Infine, sul piano teorico, la riflessione sul pentagono suscita domande che superano la mera figura: quale tipo di armonia cerchiamo quando chiediamo al mondo di “essere bello”? Il pentagono suggerisce che la bellezza non è mai solo simmetria: è rapporto e relazione, ed è tanto più convincente quanto più si sottrae alla ripetizione cieca. La sua lezione contemporanea è una pedagogia del limite e dell’invenzione.
Riflessione finale
Il pentagono non promette miracoli: offre una via. Nella sua stella interna, nel numero d’oro che la sostiene, nella rarità della sua simmetria, l’arte e la scienza trovano una grammatica comune. Questa grammatica ci invita a pensare la bellezza come intelligenza e l’armonia come conoscenza. Nella formula che abbiamo attraversato — Pentagono: perfezione esclusiva, armonia migliore — c’è un invito alla sobrietà: evitare gli eccessi, cercare la giustezza, riconoscere che la precisione è una forma di carità verso l’occhio e la mente.
Divina Proporzione nasce con questo intento: riannodare i fili che uniscono le discipline e, con rispetto per la storia e audacia nel presente, indicare un modo di vedere che non si accontenta dell’apparenza. Il pentagono ci aiuta a domandare alle immagini un senso: che misura regge questo quadro? Quale rapporto sorregge questa architettura? Che forma del pensiero illumina questo oggetto? In questo interrogare, la bellezza diventa, davvero, intelligenza; e l’armonia, finalmente, conoscenza.
